解析力学•量子力学Ⅰ + 物理学演習Ⅱ - 東京大学理学部物理学科／2011年度進学

二年冬学期

解析力学•量子力学Ⅰ + 物理学演習Ⅱ

• とりあえず、中間の過去問をアップしておきます。jpgです。ページ下のリンクから落としてください。

• コメントボックス設置した。また議論に使って下さいー -- シケ長 (2010-11-26 18:17:48)
• 答えアップしました。複数ファイルになっていてみにくくてごめんなさい。間違いなどここで議論してください！ -- 名無しさん (2010-11-28 16:22:46)
• いまさら過去問をやり始めて流行に乗り遅れているのは間違いないのですが、なんか[1]の最初の問題の位置エネルギーってめんどくさいことになりませんか？　平衡状態でのばねの長さが自然長だとして適当に近似するとポテンシャルエネルギーが(φ(n)-φ(n-1))^4　くらいになって残念なことになるし、No.2の問3のように平衡状態のときにばねの張力がTとして計算するにはばねの自然長が与えられていないし…　まあ後者でやるべきなのはなのだろうけれど、下の解答だとまずいような… -- ぱ長 (2010-11-28 21:16:27)
• ぱ長に同感です。これだと横波でなくて縦波の方程式になりますよね。与えられていないのが嫌なところですが、自然長のパラメータを自分で勝手に設定してやらなければならない気がします。それとも、他にうまいやり方があるんでしょうか？ -- はらだ (2010-11-28 23:12:03)
• ばねの自然長はl（エル）にすればいいんじゃないかな。 -- キッド (2010-11-29 00:17:54)
• あ、既にぱ長がlでやってますね。で、駄目なのか。失礼しました。 -- キッド (2010-11-29 01:11:53)
• 2008中間の解答もアップしました。再度複数ファイルですすみませんm(_ _)mちなみに、問２は解析力学関係無さげなんでアップしません。要望があれば書き込んでください。 -- はらだ (2010-11-30 13:36:00)
• 2009　1のポテンシャルエネルギーについてだけど、ｙ軸方向にかかる力はa(Φn-Φn+1)だから、これにしました……ｘ軸方向にの力ついては、内力みたいな感じで考えられませんかね…　あと、1-5は、私の解答がちょっとおかしいみたいなので、信用しないでください。ごめんなさい。 -- さめだ (2010-11-30 14:25:30)
• シケタイありがとう！！！2008年の楕円の求積はhttp://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/090vct.htmlを使ってるってことでOKだよね？一瞬、どうして0から2πなのかわからなかった（笑）／2009のポテンシャルエネルギーについては、平衡状態でのバネの長さ()が自然長だと解釈するならそれでOKだと思う(ポテンシャルエネルギー=つり合う外力×変位という定義に立ち返れば)！ただしこの解釈だと、連続極限したときに張力0の「たるんだ弦」ってことになるから、物理的意味があるのかちょっと心配(笑) -- シケ長 (2010-11-30 15:57:37)
• いまさら過去問を始めｔ（ｒｙ 2008の1-2，1-3は、時間に依存する行列Aを使って、と書けることを使えば、「若干面倒な計算」をしなくても楕円（円のまともな線形変換）で面積は変わらない（det A≡１）が言えるかと。 -- よしだ (2010-11-30 19:13:26)
• 今日の試験本当にお疲れさまでした！いま、無限小変換について検索をかけていたら、このようなものが見つかりました。復習の際のご参考までにどうぞ＞＜　http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/S-M.PDF -- K.T. (2010-12-01 23:48:12)
• 無限小変換に関して、今度は【1】により関係がある資料を見つけたので取り敢えず上げておきます。http://scphysblank.tubakurame.com/analy/analych3.html　　うーむ、しかし、オンラインで整った資料が上がっている程度には良く知られている話だったのか。勉強不足を反省…(>_<) -- K.T. (2010-12-01 23:54:27)
• よりによって2問とも無限小変換を扱うとは・・・ -- 名無しさん (2010-12-04 00:18:23)
• 過去問アップだけしました。解答は・・・だれか作るかな。 -- はらだ (2011-01-14 20:36:54)
• あ、スカイドライブにあげてあります。 -- はらだ (2011-01-14 20:37:26)
• 解析力学の過去問アップしました！ファイルがいっぱいあって分かりにくいですが、「解析力学・量子力学試験問題」というやつです。解答は今から作ります。ごめんなさい。 -- さめだ (2011-01-21 23:39:39)
• 答えもアップしました(^o^)v　間違ってるところあると思うので、指摘お願いします！ -- さめだ (2011-01-22 15:04:42)
• さめださん過去問と答えありがとう^^助かりました！答えなんだけど、１(2)(3)のそれぞれ1行目で１つ項を見落としてしまっていて、その下の問題に全部影響してしまっているかも＞＜例えば、物体１にはx方向に力かかってるからxの2回微分は明らかにゼロにはならないはず！2と3はOKだと思いますありがとう^^ -- シケ長 (2011-01-22 17:08:54)
• シケ長ありがとう！そうですねー見落としてました（TДT；　訂正版作ってあっぷしました。代入してすごいめんどくさい計算したんだけど、あってるかな…？ -- さめだ (2011-01-23 00:28:46)
• 直前ながら失礼；　訂正版のハミルトニアン、次元がおかしなことに。p_xは運動量、p_φは各運動量の次元だから、p_φに質量と長さそれぞれの二乗をかけたらよけい次元がずれちゃう；； -- はらだ (2011-01-23 19:00:49)
• ×各運動量→○角運動量 -- はらだ (2011-01-23 19:01:33)
• ちなみに、合ってるかどうかは判らんけど、俺が計算したら{(p_x)^2*m_2*l^2/2+(p_φ)^2*(m_1+m_2)/2-p_x*p_φ*m_2*l*cosφ}/(m_2*l^2)-m_2*g*l*cosφni -- はらだ (2011-01-23 19:05:14)
• 事故orz　　「ni」→「になったよ。」　読みづらくてごめんなさい。Texまだ使えない・・・ -- はらだ (2011-01-23 19:06:34)
• どうでもいいけど、p_xとかp_φとか完璧に顔ですねｗ蛇足ながら_は下付文字です。 -- はらだ (2011-01-23 19:08:10)
• ついでにもう一つ蛇足。3-(3)は{F,H}=0を示してもいけます。微分の必要がないぶん、慣れればこちらのが楽。俺はまだ慣れてないけど。 -- はらだ (2011-01-23 19:14:37)
• テスト考察.pdfをあげました！テスト後残っていた人々で考えたものです。参考にして下さい（笑） -- シケ長 (2011-01-24 17:24:12)
• 補足：より専門的にかっこ良く言えば、θ=0ではリプシッツ条件が成り立っていない→解の一意性が保証されていない→他の特殊解に乗り換え可能ということなんだろうな。 -- シケ長 (2011-01-24 18:26:16)
• そっかー、物理の問題で微分可能性を考えるとは思わなかったゼ！ -- 松田 (2011-01-25 00:06:53)
• Lipschitz連続性は一意性の十分条件だけど必要条件じゃないよ -- 名無しさん (2011-01-27 15:13:20)
• こんにちは。テストの考察についてですが、接続する点でd\theta/dtは発散する（ちなみに、それでも速度は発散しません。）ので、(i)そういう場合、普通微分可能とはいわない、(ii)積分定数を決めるための条件式はこれでは足りない（無限に発散するだけだと、繋ぎ方は一意に定まりません）、といったあたりを訂正する必要があるかと思います。後者についてはどうやってもいいですが、エネルギー保存で二次関数の頂点の位置（あるいは零点の幅）を決めるのが楽でしょうね。 -- 通りすがり (2011-01-27 17:34:59)
• >名無しさん　なるほど。では今回の場合はその十分条件が満たされなかったために、こういうやっかいなことがおこるかもよと言えただけなんだね。 -- シケ長 (2011-01-27 21:11:52)
• ＞通りすがりさん　ありがとうございます。(i)あ、その通りですね。すみません僕が書くときに、つい放物線のノリで書いてしまいましたが、もっと傾きは特異点周りで急にするべきでした。(ii)なるほど、特殊解の延長の仕方が何かしっくり来ていませんでしたが頂点の位置を押さえてやるのはすごくクリアですね。 -- シケ長 (2011-01-27 21:18:53)
• 量子力学のホームワークって、答えはついてないんですね……←　　というわけで、気が向き次第アップしていきます。合ってる自信ないんで、間違いの指摘よろしくお願いします。 -- さめだ (2011-01-27 23:35:41)
• どなたか量子力学Ⅰのhomeworkの解答を作っていただけませんでしょうか。 -- 通りすがり (2011-02-21 00:20:33)
• 遅くなってすいません！遊んでました！HW４まで答え作ったんですけど、２が途中から分かんなくなっちゃいました泣　救済お願いします。他も不安なので指摘お願いします。 -- さめだ (2011-02-21 00:40:00)
• HW２の問題５、６の答えアップしました。割と不親切かも？行間は埋めてくださいな。ミス等あればご指摘お願いします。 -- はらだ (2011-02-22 16:54:28)
• さっそく訂正。ファイルのはじめの方で出てくるクロネッカーのδの添え字は、0とNを同一視するものとします。 -- はらだ (2011-02-22 16:55:53)
• HW3の問題6なんだけど、途中計算でｘ積分がどっかに行っちゃってないか？ -- 名無しさん (2011-02-23 10:24:48)
• ↑ そうやね。HW5,6の回答まだかな～。HW6の積分ができない～ -- 名無しさん (2011-02-24 12:43:17)
• HW3問題6は解き直します、すいません。とりあえずHW５をアップします。が、問題5ができなかったです。役立たなくてごめんなさい。HW6はこれからやります。ほんとすいません。 -- さめだ (2011-02-24 14:55:22)
• HW5の問題５はΔxの時間微分とΔpを比べても速度の次元と運動量の次元だからそのままでは合わないのは当然。ΔpΔp/mが対応するべき -- はらだ (2011-02-24 18:36:28)
• 誤爆。ΔpΔpから書き直し。Δpに対応する速度はΔp/mであるべきで、それと比較すれば合う。 -- はらだ (2011-02-24 18:38:04)
• この考え方でいいと思うんだけど・・・どうでしょう。 -- はらだ (2011-02-24 18:38:53)
• HW６の解答アップしました。写真にしたら重かったんで、スカイドライブのほうに上げてあります。多少面倒ですがそこはどうかご容赦を。 -- はらだ (2011-02-24 19:30:31)
• はらだくんありがとう！HW5問題5、そういうことなんだね。納得です。HW3問題6についてですが、2行目のｘ積分が不要でした。そこだけ消しといてください。 -- さめだ (2011-02-24 22:52:04)
• HW３の問題２、|ψ>に左から|x>の完全性条件を作用させれば直接|ψ>=|x_0>が示せるよ。 -- はらだ (2011-02-25 02:14:10)
• |p>の完全性条件を使うよりずっと楽。 -- はらだ (2011-02-25 02:14:37)
• ミス発見。QMHW6-3のT_totalとτのexpの中身に√2mをかけ忘れてました。 -- はらだ (2011-02-25 03:01:03)
• あと、drは2倍になるはず。 -- ばば (2011-02-25 03:32:58)
• HW3の問題6はxで積分して結局定数（tによらない）になると思うんだけど・・・ -- 名無しさん (2011-02-25 17:00:04)
• ＞名無しさん　積分する前のものを求める問題じゃないの？ -- はらだ (2011-02-26 00:17:07)
• まとまってた方が嬉しくない？ということでHW5，6を画像梱包でまとめたものを勝手にSkyDriveに上げときました。使えるといろいろ便利だよ。　　検索→　画像梱包 -- 名無しさん (2011-02-26 09:18:54)
• （HW3問題6)x積分が途中から消えてると思うんだけど・・・ -- 名無しさん (2011-02-26 14:46:41)
• ＞名無しさん　それについては少し上のほうのコメントで解決済みみたいです。2行目のｘ積分が不要だそうです。 -- キッド (2011-02-26 14:56:27)
• x積分が不要だと、問題5のx積分はどこへ行ったの？ -- 名無しさん (2011-02-26 17:26:33)
• 問題５の答えは∫dx<x|ψ>|x>って形になってるはず。問題6 -- はらだ (2011-02-26 20:41:20)
• で求められてるのはその中の<x|ψ>の部分だから、x積分は要らない。・・・これで説明になるかな？ -- はらだ (2011-02-26 20:43:34)
• なるほど。理解しました。 -- 名無しさん (2011-02-26 20:59:10)
• 原田の説明が分かりやすすぎて全俺が泣いた。さめださんもこんなにたくさんありがとう！！！ -- シケ長 (2011-02-26 22:46:33)
• 教科書の式(1.32)って結局どうやって示すんだっけ。授業中で誰か質問してたけれど。 -- by 案外Homeworkが難しい (2011-02-26 23:21:16)
• HW３の問題５～６にかけてのガウス積分、エクスポネンシャルの方が虚数だけだけど、ガウス積分として計算してしまっていいのかな？ -- 名無しさん (2011-02-26 23:29:50)
• 上の質問とまったく同じことが気になるんですが・・・ -- 名無しさん (2011-02-27 00:27:50)
• 複素積分とはちがうよね。二次の係数が複素数 -- 名無しさん (2011-02-27 01:07:07)
• 実行してるのはただのR上の積分じゃないですか？導出の仕方から考えればわかるとおもいます -- 名無しさん (2011-02-27 02:29:06)
• ガウス積分の導出に戻って考えると最後に無限大代入するとこで収束しないんと思うんですが… -- 名無しさん (2011-02-27 05:25:21)
• ガウス積分の公式は確かにexp(-ax^2) for a>0だからそのまま適用したわけではない。 -- はらだ (2011-02-27 09:32:22)
• 但しaが複素数の場合でも、x√a=yとでもおいてやると∫dx exp(-ax^2)=1/√a ∫dy exp(-y^2)、ただし積分範囲は(-∞,∞)からy=-∞√aを始点、y=∞√aを中心とする複素積分になる。あとは積分経路を┌┘みたいな形にしてやれば∫dy exp(-y^2)=√πが証明される。 -- はらだ (2011-02-27 09:43:28)
• 中心てなんだ。終点の間違い。 -- はらだ (2011-02-27 09:45:09)
• 色々ありがとうね！一つ気になったんだけど、HW5の問題6ってこれじゃまずくないかな？時刻tについての期待値を求める問題だけど、時刻0に対する期待値を求めている気がした。とはいえ、俺がやったらなんか分母にとかいう変なのがついちゃったんだけど^^;（汗）誰か教えて〜理物のyahoo知恵袋（笑） -- シケ長 (2011-02-27 15:14:01)
• ＞シケ長　確かに解答は時刻０に対する期待値を求めてる。ただ時刻ｔの期待値も（俺の計算によると）同じ答えが出るはず。ただし七面倒くさい計算なので俺のがミスってる可能性もあり。間違ってたら申し訳ない。 -- キッド (2011-02-27 15:32:48)
• ＞シケ長　いや、問題ないはず。さめださんの運動量表示を用いるやり方だとハミルトニアンを作用させても時間依存項はでないし、波動関数に含まれる時間依存部分はexp(i~)の形だから複素共役かけることで消えて、結果時間依存はしない。時刻0の時のを求めてるんじゃなくて、共役とキャンセルするから途中式に書いてないだけでは。 -- はらだ (2011-02-27 15:35:59)
• 座標表示の場合、ハミルトニアンを作用させると時間依存項が出てくるけど、うまい具合に分子分母に出てきて約分されたはず。 -- はらだ (2011-02-27 15:39:31)
• 運動量表示だと時間依存部分が確かに消えた！ありがとう、理解しました。ただ問題文をみると題意としては座標表示でやれって感じだよね。運動量表示のほうが計算が楽なんだけど・・・。 -- キッド (2011-02-27 15:52:44)
• あ、そうか、t>0ではポテンシャルを消したわけだからHとpが交換するわな（笑）しかし座標表示でやれって感じだな（笑） -- シケ長 (2011-02-27 16:19:01)
• 量子の去年の過去問の[3](3)ってどうやって解きます？ -- 名無しさん (2011-02-27 17:44:56)
• ああ深夜になってしまった。今更かもしれないけど、過去問[3](3)の解法。 -- はらだ (2011-02-28 00:30:42)
• 完全性関係の左辺を変形して指数関数の無限和で表す。これを便宜上D(x,y)とでも置いておくと、示したいのは任意の関数fが0<y<Lなるyに対して∫[0,L]f(x)D(x,y)dx=f(y)となることだから、g(z)=f(z) (0<z<L) or 0 (z<=0,L<=z)なる関数を定義してこのgについて∫[0,L]g(x)D(x,y)dxを計算してやればよい。そうすれば、Poissonの和公式を適用したとき左辺の無限和はn=0の時のみ取り出される。Poissonの和公式がどんなfに対して成り立つのか明示はされてないけど、その辺は軽くいなしちゃって良いんじゃないかな？ -- はらだ (2011-02-28 00:44:10)
• 指数関数使ってるから、何となくディリクレ条件を満たせば適用できそうな気がする。調べてないけど。 -- はらだ (2011-02-28 00:45:44)
• ざっくりしすぎてピンと来にくいと思うけど、参考程度に。・・・もう遅すぎるかな？ -- はらだ (2011-02-28 00:46:32)
• 試験結果出るのはやいな -- 名無しさん (2011-03-05 21:41:30)